Bifurkation

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Verfasst von Schnittmenge am 18. April 2009 - 23:25.

Eine Bifurkation oder Verzweigung ist eine qualitative Zustandsänderung in nichtlinearen Systemen unter Einfluss eines Parameters μ. Der Begriff der Bifurkation wurde von Henri Poincaré eingeführt.

Nichtlineare Systeme, deren Verhalten von einem Parameter abhängt, können bei einer Änderung des Parameters ihr Verhalten plötzlich ändern. Zum Beispiel kann ein System, das zuvor einem Grenzwert zustrebte, nun zwischen zwei Werten hin und her springen, also zwei Häufungspunkte aufweisen. Dies nennt man eine Bifurkation. Bestimmte Systeme können unter finiter Änderung des Parameter μ unendlich viele Bifurkationen erfahren, und damit eine unendliche Menge an Grenzwerten aufweisen. Das Verhalten solcher Systeme wandelt sich unter Änderung des Parameters μ somit zu deterministisch chaotischem Verhalten. Ein Beispiel hierfür ist die logistische Abbildung.

Bifurkationen lassen sich in Bifurkationsdiagrammen graphisch darstellen.

 

Definition einer Bifurkation 

Eine Bifurkation eines dynamischen Systems ist eine Änderung der Anzahl an (stabilen und instabilen) Grenzwerten (Gleichgewichtszuständen) unter dem Einfluss eines Parameters μ.

 

Beispiel

Ein typisches Beispiel einer Bifurkation ist das Knicken eines Stabes unter Druckspannung.

Man stelle sich einen im Boden eingespannten senkrecht stehenden masselosen Stab mit einem Gewicht μ an der Spitze vor. Die Winkelabweichung des Stabes aus der Senkrechten entspricht dabei der Variablen x.

Ist das Gewicht genügend klein, so ist x = 0 eine stabile Gleichgewichtslage des Systems, d.h. für kleine Abweichungen richtet sich der Stab selbständig wieder in die Senkrechte (x = 0) aus. Wird das Gewicht μ kontinuierlich gesteigert, so wird bei einem bestimmten Gewicht (der Knickspannung) die senkrechte Gleichgewichtslage instabil. Gleichzeitig entstehen (für ein ebenes System) zwei neue (stabile) Gleichgewichtslagen. (Indem der Stab nach links oder rechts abknickt.) Der Übergang des Systems von einer (stabilen) zu drei (zwei stabile eine instabile) Gleichgewichtslagen ist die Bifurkation, die in diesem Fall eine Pitchfork-Bifurkation ist.

 

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